Привычная всем нам евклидова геометрия опирается на несколько аксиом. Одна из них, так называемый пятый постулат Евклида, гласит, что для всякой прямой и точки вне её существует только одна прямая, не пересекающаяся с данной. В течение примерно двух тысяч лет математикам казалось, что эта аксиома лишняя, то есть её можно вывести логически из остальных аксиом. Чтобы доказать пятый постулат, учёные стремились прийти к логическому противоречию, которое и доказывало бы истинность постулата, но такой подход не работал.

Лишь в XIX веке Николай Лобачевский, Янош Бойяи и Карл Фридрих Гаусс независимо друг от друга осмелились отказаться в своих рассуждениях от спорной аксиомы. Дальше всех продвинулся Лобачевский: он публиковал статьи и делал доклады, в которых называл свою геометрию «воображаемой». И оказалось, что геометрия без пятого постулата является непротиворечивой!

Лобачевский тщательно разрабатывал своё учение и опубликовал целый ряд крупных сочинений по новой геометрии, которая теперь носит его имя. Примечательно, что в ней существует бесконечно много прямых, проходящих через фиксированную точку и не пересекающихся с заданной прямой.